🔢 一个按钮的魔法——EML运算符如何驯服所有数学函数

想象一下，你手里拿着一台科学计算器。上面密密麻麻排满了按钮：sin、cos、tan、log、√、π、e... 每一个按钮背后都是一套独立的数学规则。从小到大，我们花了无数时间学习这些函数，记住它们的公式，理解它们的性质。

现在，有人告诉你：这些按钮，全是多余的。

只需要两个按钮——一个写着「EML」，一个写着「1」——这台计算器就能完成所有其他按钮能做的事情。计算正弦？按几下EML。求平方根？按几下EML。得到π的值？还是按几下EML。

这听起来像是魔术，但它确实是真的。

那台「坏掉的计算器」

数学里有一个有趣的问题叫做「坏掉的计算器」：假设你的计算器大部分按键都坏了，只剩几个还能用，你还能算出想要的答案吗？

波兰雅盖隆大学的Andrzej Odrzywołek（名字很难念，记住是个喜欢在天体物理和计算数学之间逛来逛去的家伙就行）把这个问题推向了极致。他没有满足于「只剩四则运算」或者「只剩指数和对数」这种温和版本。他想知道：能不能再少一点？再少一点？直到最少。

答案是：一个二元运算符加一个常数。

他发现的这个运算符叫做EML，读作「Exp-Minus-Log」：

eml(x, y) = exp(x) - ln(y)

就这么简单。e的x次方，减去y的自然对数。再加上常数1，这就是全部家当。

魔法是如何工作的

让我给你演示几个具体的例子，看看这个看似古怪的组合怎么变出所有那些你熟悉的数学函数。

指数函数

这是最直接的：

exp(x) = eml(x, 1)

因为ln(1) = 0，所以eml(x, 1) = exp(x) - 0 = exp(x)。一步到位。

自然对数

这个稍微复杂一点，需要嵌套四层：

ln(z) = eml(1, eml(eml(1, z), 1))

展开看看：内层的eml(1, z) = e¹ - ln(z) = e - ln(z)，然后再套一层... 算了，相信数学吧，它确实等于ln(z)。

乘法

乘法需要深度8的嵌套。公式看起来有点疯狂，但逻辑是通的：既然我们有了exp和ln，就可以用对数转换把乘法变回加法，再把加法变回EML的某种组合。

x × y = exp(ln(x) + ln(y))

既然EML能产生exp和ln，它就能产生乘法。

π、i、e这些常数

更神奇的是，连数学常数也能从EML和1中生出来：

• e = eml(1, 1)
• π 可以通过ln(-1) = iπ 这条路径获得
• i（虚数单位）也藏在复对数的分支选择里

为什么这件事很重要

1. 数学的「最小生成集」

在数字电路里，有个经典结果：所有布尔逻辑都可以从一个NAND门构建出来。无论你想要AND、OR、NOT还是更复杂的逻辑，用NAND门反复组合就行了。

但对于连续数学——也就是处理实数、复数的那种数学——人们一直以为没有这样的「通用积木」。你需要加法、乘法、指数、对数、三角函数... 各司其职，缺一不可。

Odrzywołek的发现证明：连续数学也有它的NAND门。EML就是那个单一的原子操作，其他的都是它的衍生。

2. 统一的数据结构

在EML的世界里，每一个数学表达式都变成了一棵二叉树。所有节点都是同一个形状——一个EML运算——只是叶子不同（有些是1，有些是输入变量）。

这意味着什么？意味着所有初等函数共享同一种语法：

S → 1 | eml(S, S)

这是计算机科学家梦寐以求的统一表示。不管是sin(x)还是√x还是e^x，在EML形式下都是相同结构的不同实例。这为符号计算、公式发现、代码优化打开了新的大门。

3. 对AI的启示

论文的后半部分有一个有趣的应用：用EML树做符号回归。

符号回归是说：给你一些数据点，找出能生成这些数据的公式。传统方法要在一个巨大的函数空间里搜索，而EML统一结构把这个空间大大压缩了。

作者用标准的Adam优化器（深度学习里常用的那个），在深度不超过4的EML树上训练，成功从数值数据中恢复出了精确的闭式初等函数。更妙的是，同样的架构也能拟合任意数据，但当背后的规律确实是初等函数时，它能自动发现那个精确公式。

这让人联想到神经网络的激活函数选择。ReLU之所以流行，部分原因是它简单、可微、能组合出复杂行为。EML会不会成为某种新的「可微计算原语」？尤其是在那些需要符号可解释性的应用场景里？

数学背后的直觉

为什么偏偏是exp(x) - ln(y)这个奇怪的组合？

Odrzywołek说，他是在「系统性穷举搜索」中找到这个答案的。但背后其实有些直觉可以分享：

exp和ln是一对逆运算。就像加法和减法、乘法和除法一样。当它们出现在同一个表达式里时，会产生有趣的「张力」——一方面增长、一方面收缩，这种不对称性可能是产生丰富行为的源头。

减法是非交换的。eml(x,y) ≠ eml(y,x)。这让表达式树有了「方向性」，同样的节点排列在不同顺序下产生不同结果。这种自由度对构建复杂函数是必需的。

论文还提到了EML的两个「表亲」：

• EDL: exp(x) / ln(y)，需要常数e
• -EML: ln(x) - exp(y)，需要常数-∞

一些思考

教学上的可能性

如果EML真的成为主流，数学教育会变成什么样？

想象一下：小学生不再背乘法表、不再纠结于sin和cos的定义，而是学习一种「通用计算语言」——所有数学运算都是同一种基本积木的不同排列。

这听起来很激进，但也很有趣。毕竟，我们现在教给孩子的「多种独立运算」在历史上也是逐渐积累起来的。如果底层结构如此统一，为什么要从复杂性开始教起呢？

当然，实际教学要考虑认知发展规律。孩子需要先理解具体、再抽象。但EML的存在至少提供了一个概念上的锚点：无论你学什么函数，记住它们都是同一个根源的不同面孔。

计算的哲学

这件事还有一个哲学层面的意义：简单与复杂的关系。

我们以为复杂的事物（科学计算器的全部功能）需要复杂的构件（36个按钮）。但数学一次又一次告诉我们：复杂性往往源于简单规则的迭代应用。

从康威的生命游戏到曼德博集合，从NAND门到EML运算符，这个世界似乎喜欢用「少」来生成「多」。

这让人想起物理学家追求「万物理论」的冲动：能不能用一个方程解释一切？数学上的EML虽然不是物理学的万物理论，但它展示了类似的「最小主义美学」——一个 primitives，解释全部。

关于作者

Andrzej Odrzywołek是波兰雅盖隆大学理论物理研究所的研究员。他的学术背景横跨天体物理、广义相对论和计算数学。在之前的工作中，他研究过黑洞吸积、超新星爆炸、中微子天文学，甚至写过一篇题为「如何建造完美的冰屋」的趣味文章。

这篇EML论文似乎是他「数值常数识别」研究线的延伸——他一直对「从数字反推公式」感兴趣。2020年他发过一篇关于「数值常数识别标准」的arXiv预印本，这次用穷举搜索找到EML，可以说是这种好奇心的自然延续。

有趣的是，这个发现完全出于意外。论文里说：「这种运算符的存在并未被预期到；我是通过系统性穷举搜索找到它的。」

科学史上很多重大突破都是这样：不是从理论推导出来，而是从「试试看」的计算机搜索里蹦出来的。

结语

下次你拿起科学计算器，或者写代码调用Math.sin()、Math.log()的时候，不妨想一想：这些看似独立的函数，其实都可以从一个简单的组合里长出来。

eml(x, y) = exp(x) - ln(y)

一个公式，加一个数字1。这就是全部。

数学的简洁之美，有时候就藏在这种意想不到的地方。

参考论文：

• Odrzywołek, A. (2026). *All elementary functions from a single binary operator*. arXiv:2603.21852
• 论文链接：https://arxiv.org/abs/2603.21852

• Sheffer stroke（布尔逻辑的NAND门等价物）
• Wolfram的「万物理论」搜索
• 符号回归与AI驱动的科学发现

*「真正理解一个东西的标志，是你能用简单的语言解释它。」*

*—— 某个喜欢打邦戈鼓的物理学家*

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