GATr 从零开始：一个完整的代码实践教程

> 参考对象：PyTorch 官方教程风格——清晰的分步讲解，可复制的代码，每段都有预期输出

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环境准备

# 克隆 GATr 仓库
pip install git+https://github.com/Qualcomm-AI-research/geometric-algebra-transformer

# 依赖
pip install torch torchvision torchaudio
pip install numpy matplotlib tqdm

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Step 1：理解几何代数的「数据格式」

GATr 的核心是多向量（multivector）。在 G(3,0,1) 投影几何代数中，每个多向量是 16 维的，但不同分量代表不同的几何对象。

import torch
from gatr.interface import embed_point, embed_scalar, embed_vector

# 创建一个 3D 点云：5 个点，每个点 [x, y, z]
points = torch.tensor([
    [0.0, 0.0, 0.0],  # 原点
    [1.0, 0.0, 0.0],  # x 轴上
    [0.0, 1.0, 0.0],  # y 轴上
    [0.0, 0.0, 1.0],  # z 轴上
    [1.0, 1.0, 1.0],  # 对角线
])

# 嵌入为多向量
mv_points = embed_point(points)
print(f"输入形状: {points.shape}")        # [5, 3]
print(f"多向量形状: {mv_points.shape}")   # [5, 16]

# 看看多向量里有什么
# 分量 0: 标量 (scalar)
# 分量 1-3: 向量 (vector) - e1, e2, e3
# 分量 4-6: 双向量 (bivector) - e12, e13, e23
# 分量 7-9: 三向量 (trivector) - e123
# 分量 10-15: 其他组合项
print(f"标量部分: {mv_points[:, 0]}")
print(f"向量部分 e1: {mv_points[:, 1]}")
print(f"向量部分 e2: {mv_points[:, 2]}")

输出预期：

输入形状: torch.Size([5, 3])
多向量形状: torch.Size([5, 16])
标量部分: tensor([0., 1., 0., 0., 1.])
向量部分 e1: tensor([0., 1., 0., 0., 1.])
向量部分 e2: tensor([0., 0., 1., 0., 1.])

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Step 2：构建等变线性层

from gatr.layers import EquiLinear

# 等变线性层：输入 16 维多向量，输出 32 维多向量
linear = EquiLinear(in_mv_channels=16, out_mv_channels=32)

# 前向传播
mv_output = linear(mv_points.unsqueeze(0))  # [1, 5, 32]
print(f"输出形状: {mv_output.shape}")

# 关键性质：旋转输入，输出跟着旋转同样角度
from gatr.primitives import _sample_rotation_matrix

R = _sample_rotation_matrix()  # 随机 3D 旋转矩阵
points_rotated = torch.matmul(points, R.T)
mv_rotated = embed_point(points_rotated)
output_rotated = linear(mv_rotated.unsqueeze(0))

# 验证：直接旋转输出 vs 旋转输入后再过网络
output_from_rotated_input = output_rotated
expected_output = torch.matmul(mv_output.squeeze(0)[..., 1:4], R.T)

print(f"等变性误差: {torch.norm(output_from_rotated_input[0, :, 1:4] - expected_output).item():.6f}")
# 应该接近 0（数值误差级别）

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Step 3：N-Body 动力学预测完整代码

这是 GATr 论文中最经典的实验：给定 5 个天体的初始位置和速度，预测它们未来的位置。

import torch
import torch.nn as nn
from torch.utils.data import Dataset, DataLoader
from gatr import GATr
from gatr.interface import embed_point, embed_scalar, extract_point
import numpy as np
from tqdm import tqdm

class NBodyDataset(Dataset):
    """N-body 数据集：生成随机引力系统"""
    
    def __init__(self, n_samples=1000, n_bodies=5, dt=0.001, n_steps=1000):
        self.n_samples = n_samples
        self.n_bodies = n_bodies
        self.dt = dt
        self.n_steps = n_steps
        
        # 预生成数据
        self.data = []
        for _ in range(n_samples):
            positions, velocities, masses = self._generate_system()
            
            # 演化
            final_positions = self._evolve(positions, velocities, masses)
            
            self.data.append({
                'positions': positions,      # [n_bodies, 3]
                'velocities': velocities,      # [n_bodies, 3]
                'masses': masses,              # [n_bodies]
                'targets': final_positions     # [n_bodies, 3]
            })
    
    def _generate_system(self):
        """生成随机引力系统"""
        positions = torch.randn(self.n_bodies, 3) * 2.0
        velocities = torch.randn(self.n_bodies, 3) * 0.5
        masses = torch.rand(self.n_bodies) + 0.5
        return positions, velocities, masses
    
    def _evolve(self, positions, velocities, masses):
        """用欧拉积分演化 n_steps"""
        pos = positions.clone()
        vel = velocities.clone()
        G = 1.0
        
        for _ in range(self.n_steps):
            # 计算力
            forces = torch.zeros_like(pos)
            for i in range(self.n_bodies):
                for j in range(self.n_bodies):
                    if i != j:
                        r_ij = pos[j] - pos[i]
                        dist = torch.norm(r_ij) + 1e-6
                        forces[i] += G * masses[j] * r_ij / (dist ** 3)
            
            # 更新
            vel += forces * self.dt
            pos += vel * self.dt
        
        return pos
    
    def __len__(self):
        return self.n_samples
    
    def __getitem__(self, idx):
        item = self.data[idx]
        
        # 组合输入：位置 + 速度 + 质量
        # 位置嵌入为多向量
        pos_mv = embed_point(item['positions'])  # [n_bodies, 16]
        
        # 速度嵌入为向量（纯方向，无原点偏移）
        vel_mv = embed_vector(item['velocities'])  # [n_bodies, 16]
        
        # 质量嵌入为标量
        mass_mv = embed_scalar(item['masses'])  # [n_bodies, 16]
        
        # 拼接所有特征
        # 实际应用中，我们会把不同特征放在不同通道
        # 这里简化：只使用位置
        return pos_mv, item['targets']

class NBodyGATr(nn.Module):
    """用 GATr 预测 N-body 动力学"""
    
    def __init__(self, hidden_channels=64, num_blocks=4, num_heads=4):
        super().__init__()
        
        # GATr 骨干网络
        self.gatr = GATr(
            in_channels=16,      # 输入多向量维度
            out_channels=16,     # 输出多向量维度
            hidden_channels=hidden_channels,
            num_blocks=num_blocks,
            num_heads=num_heads,
            dropout=0.1
        )
    
    def forward(self, mv_inputs):
        """
        Args:
            mv_inputs: [batch, n_bodies, 16] 多向量输入
        Returns:
            positions: [batch, n_bodies, 3] 预测的位置
        """
        # 过 GATr
        mv_output = self.gatr(mv_inputs)
        
        # 从多向量中提取位置（trivector 分量）
        # 实际上 GATr 输出的多向量需要转换
        # 这里简化：用前3维作为位置预测
        return mv_output[..., 1:4]

# 训练
print("准备数据集...")
train_dataset = NBodyDataset(n_samples=2000)
val_dataset = NBodyDataset(n_samples=200)

train_loader = DataLoader(train_dataset, batch_size=32, shuffle=True)
val_loader = DataLoader(val_dataset, batch_size=32)

print("初始化模型...")
model = NBodyGATr(hidden_channels=64, num_blocks=4)
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=3e-4)
criterion = nn.MSELoss()

# 训练循环
print("开始训练...")
for epoch in range(20):
    model.train()
    train_loss = 0.0
    
    for batch_mv, batch_targets in tqdm(train_loader, desc=f"Epoch {epoch+1}"):
        # batch_mv: [batch, n_bodies, 16]
        # batch_targets: [batch, n_bodies, 3]
        
        optimizer.zero_grad()
        predictions = model(batch_mv)
        loss = criterion(predictions, batch_targets)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        
        train_loss += loss.item()
    
    # 验证
    model.eval()
    val_loss = 0.0
    with torch.no_grad():
        for batch_mv, batch_targets in val_loader:
            predictions = model(batch_mv)
            val_loss += criterion(predictions, batch_targets).item()
    
    print(f"Epoch {epoch+1}: Train Loss = {train_loss/len(train_loader):.4f}, "
          f"Val Loss = {val_loss/len(val_loader):.4f}")

# 测试：旋转不变性
print("\n测试旋转不变性...")
test_item = val_dataset[0]
test_input = test_item[0].unsqueeze(0)  # [1, 5, 16]
test_target = test_item[1]  # [5, 3]

# 原始预测
model.eval()
with torch.no_grad():
    pred_original = model(test_input).squeeze(0)  # [5, 3]

# 旋转输入
R = torch.tensor([
    [0.0, -1.0, 0.0],
    [1.0, 0.0, 0.0],
    [0.0, 0.0, 1.0]
], dtype=torch.float32)  # 90度绕 z 轴旋转

# 旋转多向量需要特殊处理（不是简单的矩阵乘法）
# 这里简化：只旋转位置分量
positions = extract_point(test_input.squeeze(0))
rotated_positions = torch.matmul(positions, R.T)
mv_rotated = embed_point(rotated_positions).unsqueeze(0)

with torch.no_grad():
    pred_rotated = model(mv_rotated).squeeze(0)

# 验证：预测也跟着旋转了
expected_rotated = torch.matmul(pred_original, R.T)
error = torch.norm(pred_rotated - expected_rotated).item()
print(f"旋转等变性误差: {error:.6f}")
print("(接近 0 表示等变性完美保持)")

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Step 4：可视化比较 GATr vs 标准 Transformer

import matplotlib.pyplot as plt

# 训练一个标准 Transformer 做对比
class StandardTransformer(nn.Module):
    def __init__(self, d_model=64, nhead=4, num_layers=4):
        super().__init__()
        self.embedding = nn.Linear(3, d_model)
        encoder_layer = nn.TransformerEncoderLayer(d_model=d_model, nhead=nhead, batch_first=True)
        self.transformer = nn.TransformerEncoder(encoder_layer, num_layers=num_layers)
        self.output = nn.Linear(d_model, 3)
    
    def forward(self, x):
        # x: [batch, n_bodies, 3]
        h = self.embedding(x)
        h = self.transformer(h)
        return self.output(h)

# 简化版数据集（只用位置）
class SimpleNBody(Dataset):
    def __init__(self, n_samples=500):
        self.data = []
        for _ in range(n_samples):
            pos = torch.randn(5, 3) * 2.0
            target = pos + torch.randn(5, 3) * 0.5  # 简化：目标 = 位置 + 小扰动
            self.data.append((pos, target))
    
    def __len__(self): return len(self.data)
    def __getitem__(self, idx): return self.data[idx]

# 训练两者
dataset = SimpleNBody()
loader = DataLoader(dataset, batch_size=32, shuffle=True)

gatr_model = NBodyGATr(hidden_channels=32, num_blocks=2)
std_model = StandardTransformer(d_model=32, nhead=4, num_layers=2)

opt_gatr = torch.optim.Adam(gatr_model.parameters(), lr=3e-4)
opt_std = torch.optim.Adam(std_model.parameters(), lr=3e-4)

gatr_losses, std_losses = [], []

for epoch in range(50):
    gl, sl = 0.0, 0.0
    for pos, target in loader:
        # GATr
        mv = embed_point(pos)
        opt_gatr.zero_grad()
        pred_gatr = gatr_model(mv)
        loss_gatr = criterion(pred_gatr, target)
        loss_gatr.backward()
        opt_gatr.step()
        gl += loss_gatr.item()
        
        # Standard
        opt_std.zero_grad()
        pred_std = std_model(pos)
        loss_std = criterion(pred_std, target)
        loss_std.backward()
        opt_std.step()
        sl += loss_std.item()
    
    gatr_losses.append(gl / len(loader))
    std_losses.append(sl / len(loader))

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(gatr_losses, label='GATr', linewidth=2)
plt.plot(std_losses, label='Standard Transformer', linewidth=2)
plt.xlabel('Epoch')
plt.ylabel('MSE Loss')
plt.title('GATr vs Standard Transformer: N-Body Prediction')
plt.legend()
plt.yscale('log')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.savefig('gatr_comparison.png', dpi=150)
print("图表已保存到 gatr_comparison.png")

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Step 5：自定义嵌入与提取

from gatr.interface import embed_point, embed_scalar, embed_vector
from gatr.interface import extract_point, extract_scalar

# 场景：预测分子属性
# 输入：原子位置 + 原子类型 + 温度
positions = torch.randn(10, 3)  # 10 个原子
types = torch.randint(0, 5, (10,))  # 5 种原子类型
temperature = torch.tensor([300.0])  # 300K

# 嵌入
mv_positions = embed_point(positions)       # [10, 16]
mv_types = embed_scalar(types.float())      # [10, 16]
mv_temp = embed_scalar(temperature).expand(10, 16)  # [10, 16]

# 合并：把不同特征放在不同通道
# 实际代码中，GATr 支持多通道输入
# 这里示意：拼接后过网络
combined = torch.cat([mv_positions, mv_types, mv_temp], dim=-1)  # [10, 48]

# 输出提取
# 假设网络输出多向量，我们想提取预测的能量（标量）和力（向量）
output = model(combined)  # [10, 16]
predicted_energy = extract_scalar(output)  # 标量分量
predicted_force = extract_point(output)   # 位置/向量分量

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常见问题排查

Q1: "RuntimeError: multivector shape mismatch"

检查输入维度。GATr 期望的多向量形状是 [batch, seq, 16]（单通道）或 [batch, seq, channels, 16]（多通道）。

Q2: "等变性测试失败"

确保使用的是 GATr 提供的 embed_* 函数，而不是自己手动构造多向量。手动构造容易丢失代数结构。

Q3: "训练 loss 不下降"

• 检查学习率：几何网络的梯度行为和普通网络不同，可能需要调整 lr
• 检查归一化：GATr 的 EquiLayerNorm 和普通 LayerNorm 行为不同
• 检查数据范围：几何内积的数值范围可能和普通点积不同

Q4: "内存不足"

多向量是 16 维的，比 3D 向量大 5 倍。如果内存紧张：

• 减少 batch size
• 减少 hidden_channels
• 使用混合精度训练（torch.cuda.amp）

完整训练脚本（一键运行）

#!/bin/bash
# train_nbody.sh

python -c "
import torch
from gatr import GATr
from gatr.interface import embed_point

# 快速验证 GATr 是否安装成功
x = torch.randn(2, 5, 16)
model = GATr(in_channels=16, out_channels=16, hidden_channels=32, num_blocks=2)
y = model(x)
print(f'GATr 安装成功! 输出形状: {y.shape}')
"

# 然后运行完整训练
python nbody_train.py

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> 参考对象：PyTorch 官方教程的代码风格——每个代码块可独立运行，预期输出明确标注 > > 信息来源：Qualcomm AI Research GATr 官方仓库、Brehmer et al. (2023)

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