大自然偷偷解了一道60年的数学题

2018年某个下午，瑞士联邦材料实验室的化学家 Karl-Heinz Ernst 盯着显微镜下的画面，眉头紧锁。

他的博士生 Jan Voigt 刚把一种叫 tris(tetrahelicenebenzene) 的有机分子喷到银表面，按照教科书，这些分子应该乖乖排成整齐的晶格——要么左旋分子扎堆，要么右旋分子抱团，要么左右交替排列。这是手性分子结晶的基本套路。

但显微镜下什么都没有。没有整齐的行列，没有规律的重复。取而代之的是一堆大小不一的三角形，歪歪扭扭地拼在一起，像被熊孩子打翻的积木。更诡异的是，Voigt 重复了大约 100 次实验，每次得到的图案都不一样，而且没有一个图案看起来会重复。

"实验做错了。"这是 Ernst 的第一反应。

他让 Voigt 再做一次。又做一次。再做一次。

结果始终一样：分子们固执地拒绝排成任何重复的图案。

一个名字里藏着双关语的数学题

要理解 Ernst 的困惑，得先回到一个困扰数学界半个多世纪的问题。

1960年代，逻辑学家 Robert Berger 构造了一组 20,426 个形状，它们组合起来可以铺满整个平面，但图案永远不会重复。这种"能铺满但不重复"的瓷砖组，数学家叫它"非周期性瓷砖集"。

接下来的几十年，数学家们像减肥一样不断削减这个数字。Roger Penrose 在 1970 年代把它降到了两个——著名的 Penrose 瓷砖，至今还装饰着牛津大学的地面。

但最根本的问题始终悬着：能不能只用一块瓷砖？

德国几何学家 Ludwig Danzer 给这种假想的单块瓷砖起了个名字叫 "einstein"——不是致敬那位著名物理学家，而是一个德语双关："ein Stein"，意思是"一块石头"。

一块石头，铺满无穷大的地面，图案永不重复。听起来像是不可能的任务。数学家们也确实开始怀疑它是否存在。

退休印刷技师的厨房桌实验

2022年11月，英国海滨小镇 Bridlington，退休印刷技师 David Smith 正坐在电脑前做他最喜欢的事——玩形状。

Smith 是个拼图爱好者，喜欢用一款叫 PolyForm Puzzle Solver 的软件摆弄各种几何图形。那天他随手拼出了一个看起来毫不起眼的帽子形瓷砖，然后开始试着用复制品铺满屏幕。

通常，他创造的瓷砖要么很快陷入重复模式，要么根本铺不了多远。但帽子瓷砖不一样。它铺了 30 块没重复，60 块没重复，Smith 索性打印了 60 个纸片剪出来在桌上拼——还是不重复。

Smith 把这个发现发给了加拿大滑铁卢大学的计算机科学家 Craig Kaplan。Kaplan 用自己写的程序测试，通常瓷砖最多撑过 6 层环形扩展就会露出重复的马脚。帽子瓷砖？16 层了还在继续。Kaplan 让程序停了下来——他们已经有足够的数据了。

2023年3月，Smith、Kaplan 和另外两位合作者正式宣布：帽子瓷砖就是数学家找了 60 年的 einstein。

消息震动了整个数学界。Moravian 大学荣休教授 Doris Schattschneider 用了一个词："Flabbergasted"（目瞪口呆）。Smith 学院荣休教授 Marjorie Senechal 说这"简直令人难以置信"（mind-boggling）。

更令人感慨的是，这已经不是第一次业余爱好者在铺砖问题上做出重大突破了。1970年代，邮局分拣员 Robert Ammann 独立发现了 Penrose 瓷砖的一种变体；1975年，加州家庭主妇 Marjorie Rice 发现了新的五边形铺砖族；塔斯马尼亚的业余数学家 Joan Taylor 发现了 Socolar-Taylor 瓷砖。

Senechal 教授说得好："也许业余爱好者不像数学家那样被'这有多难'所束缚。"

化学家在厨房桌上拼拼图

时间回到 Ernst 的实验室。帽子瓷砖发表的时候，Ernst 和 Voigt 已经对着那些莫名其妙的分子图案困惑了五年。

他们本来只是想研究手性分子如何在金属表面结晶。手性——也就是分子的"左右手性"——在制药行业至关重要：超过一半的现代药物是手性分子，而人体里的氨基酸、糖和蛋白质全都是同一手性的。吃错手性的药，轻则无效，重则致命。所以控制手性是化学工业的大事，而表面结晶是控制手性最便宜有效的方法之一。

Ernst 选的分子有个特殊本事：它在室温下就能轻松切换左右手性，大多数手性分子根本做不到。研究者原本期待看到整齐的手性分离——左旋归左旋，右旋归右旋。

结果分子们给出了一个完全出乎意料的答案。

它们组成了大小不一的三角形——边长从 2 到 15 个分子不等。每次实验中，总有一种尺寸的三角形占主导，比它大一号和小一号的三角形也有，但其他尺寸完全缺席。这些三角形再拼在一起，边缘因为手性不匹配而无法严丝合缝，必须稍微错位。错位产生了缺陷，缺陷又成为螺旋的中心。

整个表面形成了一个永不重复的图案。

Ernst 和 Voigt 像真正的拼图爱好者一样，不仅在电脑上模拟，还在家里的厨房桌上用硬纸板拼——和 David Smith 用纸片拼帽子瓷砖如出一辙。

当帽子瓷砖的论文在 2023 年发表时，Ernst 终于找到了理解自己实验的钥匙：他的分子在银表面上做的事情，和 Smith 的帽子瓷砖在平面上做的事情，本质上是同一件事。

熵：以最无序的方式有序

但分子和瓷砖有一个关键区别。帽子瓷砖是数学上严格证明的非周期性——它只能以不重复的方式铺满平面。而分子的非周期性更像是"统计偏好"——它们倾向于不重复，但并非别无选择。

驱动这种偏好的力量出人意料：熵。

在 Ernst 的实验条件下，分子们"想"尽可能密地覆盖银表面，因为这是能量最低的状态。但手性让三角形边缘无法完美对接，必须错位。错位产生缺陷，缺陷在能量上是不利的——但缺陷带来的更紧密排列弥补了这部分能量损失。

关键来了：既然各种非重复图案的能量成本几乎相同，熵就成了决定因素。在统计力学中，当多个状态的能量相同时，系统会倾向于占据可能性最多的那个状态——也就是熵最大的状态。非重复的排列方式远多于重复的，所以分子们自然涌向非重复。

这就是物理学家说的 "order by disorder"——以最无序的方式有序。

听起来矛盾，但想想洗牌：一副扑克牌有 52! 种排列，只有极少数是有序的（按花色和数字排列）。如果你随机洗牌，几乎不可能洗出有序排列——不是因为有什么力在阻止你，而是因为无序的状态太多了。

分子们也是一样。它们不是在"选择"非周期性，而是非周期性就是最自然的结果。

从准晶体到新物理

这个故事还有更深的层次。

1982年，以色列材料科学家 Dan Shechtman 在铝锰合金中看到了一个不可能的衍射图案——十重旋转对称。这意味着晶体每转 36 度就看起来一样，而这在经典晶体学中是被禁止的。Shechtman 在实验记录本上写下"（10重？？？）"，然后用整个下午试图找到能解释这种现象的孪晶——如果只是两块普通晶体长在一起，那就没什么意思。

他没找到孪晶。

当他把结果告诉同事 John Cahn 时，Cahn 的第一反应是："走开，Danny，那些只是孪晶，没什么意思。"

但 Shechtman 坚持了下去。他面对的不仅是学术质疑——两次诺贝尔奖得主、20世纪最著名的化学家 Linus Pauling 公开反对准晶体的存在，据说 Pauling 曾说："没有准晶体，只有准科学家。"

Pauling 一直试图用越来越复杂的孪晶模型来解释 Shechtman 的数据，但一次又一次失败。他 1994 年去世时仍未接受准晶体的存在。而 Shechtman 在 2011 年获得了诺贝尔化学奖。

准晶体的发现改写了晶体学的定义。国际晶体学联合会在 1991 年重新定义了"晶体"，不再要求周期性排列，只要求衍射图案有明锐的斑点。而准晶体的物理性质也与众不同：它们的导电性异常低，硬度高，摩擦系数低，被用于不粘锅涂层和钢笔尖等实际应用。

Ernst 的分子非周期表面可能带来更进一步的突破。物理学家已经预测，在非周期表面上，电子的行为会与在普通晶体中截然不同——可能催生一种全新的物理学。布里斯托大学的物理学家 Felix Flicker 甚至用帽子瓷砖构建了准晶体的计算机模拟，预测它会表现出类似"超级石墨烯"的性质。

大自然在做数学

Ernst 在接受采访时说了一句话，值得反复品味：

"This is nature doing math."

这句话有好几层意思。

第一层：分子们没有学过 einstein 问题，没有读过 David Smith 的论文，不知道什么是非周期铺砖。但它们自己找到了答案——或者说，答案就在物理定律里，等着被发现。

第二层：数学家和化学家从完全不同的方向走到了同一个终点。Smith 用直觉和纸片，Ernst 用分子和显微镜。一个从抽象出发，一个从实验出发，中间隔着 60 年的数学研究和 5 年的困惑，但最终说的是同一件事。

第三层，也是最深的：有序和无序之间的边界，比我们以为的模糊得多。 我们习惯把"有序"等同于"重复"，把"无序"等同于"混乱"。但 einstein 瓷砖和分子非周期表面告诉我们，存在第三种状态——有结构但不重复，有规则但不循环。准晶体就是这种状态的物理实现。

这让我想到一个类比。在 AI 领域，我们训练语言模型时也在和"有序"与"无序"搏斗。模型太有序，输出就是重复的废话（"作为一个AI语言模型……"）；太无序，输出就是胡言乱语。最好的输出——有洞见、有创意、有结构但不机械重复——恰恰存在于那个"非周期"的中间地带。

也许创造力本身就是一种 einstein 瓷砖：有模式，但不重复；有规则，但不循环。而驱动这种状态的，不是什么神秘力量，只是简单的统计——可能性最多的状态，恰好就是最有趣的状态。

Ernst 已经退休了，把研究非周期表面电子行为的任务留给了别人。"我对物理学有点敬畏，"他笑着说。

但分子们不敬畏。它们只是继续在银表面上，一遍又一遍地，铺出从未有人见过的图案。

参考资料：

• Voigt, J. et al. "An aperiodic chiral tiling by topological molecular self-assembly." Nature Communications (2025).
• Smith, D. et al. "An aperiodic monotile." arXiv:2303.10798 (2023).
• Shechtman, D. et al. "Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry." Physical Review Letters (1984).