Real vs. Complex Spectral Bases for Neural Operators: The Role of Green's Function Alignment

论文概要

研究领域: ML
作者: Jason Sulskis, Sathya Ravi
发布时间: 2026-06-24
arXiv: 2506.14669

中文摘要

傅里叶神经算子（FNO）通过在复数傅里叶域中参数化全局卷积来学习偏微分方程的解算子。对于实值PDE解，复数FFT通过共轭对称性携带表示冗余。我们引入了Hartley神经算子（HNO），FNO的精确实值镜像：它用纯实数的离散Hartley变换替代FFT，为每个保留的谱模式学习单个实数乘子，无需复数运算。由于实数Hartley谱不会被共轭对称性减半，HNO保留的频角是FNO的两倍，但FNO携带复数对的地方HNO只有一个实数权重，因此两个算子在等宽时是等参数的，仅在谱基上有所不同。我们的核心论点是，最佳基是算子的属性。自伴随椭圆算子（Poisson、双调和）具有实数、对称的Green函数，实数Hartley乘子可以精确对角化，因此HNO在此类问题上更受青睐。时间相关算子携带相位，从波动方程中的振荡到平流、Burgers和Navier-Stokes中的输运，实数对角乘子无法表示这些相位，因此FNO在此类问题上更受青睐，且随着算子相位含量的增加而 increasingly 如此，使无相位的热方程成为边界情况。在相同条件下训练两个算子，并在PDE类别、初始条件族和边界条件之间进行基准测试，我们发现椭圆型与时间相关型的分割在算子相位含量上是单调的，并且与我们发展的Green函数理论相匹配。我们的发现不是给出一个通用的赢家，而是提供了一个预测规则：将谱基与解算子的对称性匹配。

原文摘要

Fourier Neural Operators (FNO) learn solution operators of partial differential equations by parameterizing global convolutions in the complex Fourier domain. For real-valued PDE solutions, the complex FFT carries representational redundancy through conjugate symmetry. We introduce the Hartley Neural Operator (HNO), the exact real-valued mirror of FNO: it replaces the FFT with the purely real Discrete Hartley Transform and learns a single real multiplier per retained spectral mode, with no complex arithmetic. Because the real Hartley spectrum is not halved by conjugate symmetry, HNO retains twice as many frequency corners as FNO but one real weight where FNO carries a complex pair, so the two operators are iso-parametric at equal width and differ only in spectral basis. Our central thesis ...

自动采集于 2026-06-25

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