AI + 陶哲轩把 70 年的森多夫猜想一次性画上句号 —— 一个隐藏的更强结果也一并被解决

2026 年 8 月初，初创公司 ProofAtlas 创始人 Lech Mazur 在 GPT-5.6 Pro 的辅助下完成了森多夫猜想（Sendov's Conjecture）的证明论文，配有约 9 万行 Lean 4 形式化代码。8 月 12 日，菲尔兹奖得主陶哲轩在博客发文，说自己花了数日（同样在大量 AI 辅助下）将这份证明消化、简化并重新形式化，把 Lean 代码压缩到约 1.5 万行——而更关键的是，他发现整理后的论证实际证明了一个更强的命题，1972 年提出的 Phelps-Rodriguez 猜想随之被一并解决。复分析领域最著名的公开问题之一，在 AI 参与下一次画上了句号。

一、森多夫猜想：一个优雅到令人沮丧的问题

森多夫猜想由保加利亚数学家 Blagovest Sendov 于 1958 年前后提出，陈述极简：

> 设 p(z) 是一个 n 次复多项式（n ≥ 2），其所有零点都在闭单位圆盘内（即 |z| ≤ 1）。那么，对 p 的任意零点 a，至少存在一个临界点 w（即导数 p'(z) 的零点），使得 |w − a| ≤ 1。

换种说法：如果一个复系数多项式的所有根都位于单位圆内，那么每一个根附近，是否一定存在一个距离不超过 1 的临界点？

这个猜想的背景来自经典的高斯-卢卡斯定理（Gauss-Lucas theorem）：多项式的所有临界点都落在其零点构成的凸包内部——这是一个整体性结论，而森多夫猜想问的则是局部版本。

极端例子 p(z) = zⁿ − 1：零点是单位根，唯一临界点是原点（重数 n−1），距离恰好等于 1。这说明常数 1 是紧的——不能再改进。

二、68 年的接力

数学界围绕这条猜想已经跑了 68 年：

年份	进展
1969	Meir 与 Sharma 证明 n < 6
1991	Brown 推进到 n < 7
1996	Borcea 推进到 n < 8
1999	Brown 与 Xiang 推进到 n < 9——之后超过 20 年没有低次推进
2020	陶哲轩证明「n 充分大」情形（无显式上界），刊于《Acta Mathematica》
2026 年初	张腾（Teng Zhang）把陶哲轩的"充分大"显式化到 n 高达 10²⁰⁰⁰⁰⁰
2026 年 8 月 5 日	Lech Mazur 用 GPT-5.6 Pro 生成证明，配 9 万行 Lean 4 代码
2026 年 8 月 12 日	陶哲轩消化、简化证明至 1.5 万行 Lean 代码，并发现 Phelps-Rodriguez 猜想随之成立

提出 Sendov 猜想的数学家、当时还在读博的研究者本人，17 年未能突破，最终由 AI 组合完成了关键证明。这是数学史上「AI 把一道长期悬而未决的经典难题」在公开同行评议机制下完整跑通的少数案例之一。

四、为什么 Phelps-Rodriguez 是更强的命题

陶哲轩消化后的论证实际上证明了所谓 Conjecture 3（Sendov 内部形式）：

> 设 n ≥ 2。令 p 是一个 n 次多项式，所有零点都在单位圆盘内。那么如果 a 是 p 的零点，存在 p 的临界点 w 使得 |w − a| < 1。

这直接蕴含了 Phelps-Rodriguez 猜想（1972 年提出）：要求距离严格小于 1，除非 a 落在单位圆上且 p 是 zⁿ − aⁿ 的标量倍数。换句话说，68 年前 Sendov 问的是「距离 ≤ 1 够不够」，陶哲轩版本的消化直接给出了「距离 < 1 几乎一定可以」，更强、更细、且对历史上的极端例子保持紧致。