DeepMind + AlphaEvolve 把矩阵乘法指数 ω 上界推到 2.371177：第 57 年追击 + 一份精确有理证书

关键词：DeepMind · AlphaEvolve · 矩阵乘法指数 · 组合损失分析 · 精确有理证书 · Carnegie Mellon · arXiv 2608.16884

怎么看这件事

1969 年 Volker Strassen 把两个 n×n 矩阵相乘的算术运算复杂度从 n³ 拉到 O(n^log₂7) ≈ O(n^2.807)，从此开了一场 57 年的追击：找到矩阵乘法指数 ω 的真实值。ω 的下界是 2（至少要看完每个元素），而 Strassen 的 2.807 一直到今天都还没有被消灭，只是被往下推。2026 年 8 月 17 日，DeepMind 团队 Emilien Dupont、Marvin Eisenberger、Borislav Kozlovskii、Abbas Mehrabian、Francisco J. R. Ruiz、Abigail See、Renfei Zhou（CMU）、Josh Alman（Columbia）、Virginia Vassilevska Williams（MIT）、Matej Balog 把这一上界从 2.371339（Alman 等人 SODA 2025 的成果）推到了 ω < 2.371177。把这两届记录相减，只有 0.000162，听上去像一个凑整的舍入误差，但在矩阵乘法指数这条赛道上，每一个落在第六位小数的下降都对应着一个真正新的数学构造。这不是什么「AI 独立证明」，而是「人类改写数学、AI 改写优化器代码」的协作样本——值得专门拆开讲一次。

1. 优化问题长什么样

ω 的上界从哪里来？过去半个世纪的所有推进都来自同一条母矿——laser method，最近一代版本叫 combination loss analysis（结合损失分析，归属于 Duan 等 2022、Williams 等 2024、Alman 等 2025）。这套方法把「能不能把 ω 压到某个值」翻译成「能否在一个非凸优化问题里找到一个可行点」。听起来像是工业上常见的黑盒优化，但本质上的麻烦是：你证明的界有多低，完全取决于你能把搜索空间做到多大；而搜索空间越大，组合变量就指数级膨胀，所以前人只能动到 ℓ*=3 这个量级。

优化问题本身的形状可以想象成「一个几百个旋钮的非凸黑盒，每一组旋钮对应一个证书，证书的值就是该组旋钮导出的 ω 上界」。找更好旋钮组合是非凸优化最让人头疼的形状之一。前一届记录（SODA 2025）的 ω < 2.371339 是 Alman 把这种方法的非对称性发挥到了极致才撑住的。

2. 三层叠加，从 2.371339 到 2.371177

DeepMind 这篇 2026-08-17 投到 arXiv 的短文（2608.16884）把工作切成三块来看，每一层自身都不「性感」，但叠在一起就推进了 0.000162：

第一层：代数重构，让更大的 ℓ 可解。* 他们对原优化问题做了一个代数层面的重新表述，使得一个更大的参数设置变成可解。论文里把这个参数叫 ℓ*，上一届记录的 ℓ* = 3，这次推到 ℓ = 4*。这是数学层面的活，AI 没插手。

第二层：用 JAX + 自动微分 + Sinkhorn-Knopp 归一化重写求解器。 前人用的求解器是序列二次规划（SQP），DeepMind 改用基于梯度的求解器，写在 JAX 里，靠自动微分拿梯度，靠 Sinkhorn-Knopp 做归一化（把优化过程中的中间矩阵反复投影回双随机矩阵）。这一层是「数值方法」的活，AI 还是没插手——但工具换掉之后，可行域的形状变了。

第三层：把上述求解器丢给 AlphaEvolve。 AlphaEvolve 是 DeepMind 自家的 Gemini 驱动的编码 agent，专门设计来「改写优化器的代码本身」。换句话说，它不停地把求解器代码改写成新的写法，然后跑，看新的上界是多少，再回去重写代码。论文明确写：「AlphaEvolve 不证明关于 ω 的任何命题；它改写搜索 ω 上界的优化器代码」。

3. 为什么这件事要说

这条赛道的迭代节奏比较特别。每一届新上界都意味着：要么出现一种新的组合结构，要么把已有的组合结构挖得更深。换言之，每一次推进都是真正的新构造，不是参数凑出来的小修小补。这次的 0.000162，听上去小，但属于「走完了 57 年里另一段下行的阶梯」。

更关键的是这次有 精确有理算术证书。DeepMind 把找到的最终数值解用有理数重写，重新做了一次精确算术下的验证。这是为了「消除浮点误差的可能性」——任何用 IEEE 浮点计算出来的 ω 上界 2.371177 都可能被怀疑是 2.3711769999... 经过 round 之后的产物；用有理数写则可以独立验证、没有舍入。这正是「AI 在 70 年常数上动了一个数字」这种新闻应当在意的姿态：证书要让第三方能重跑。

到这里为止，DeepMind 做了跟数学家相同的事——只是他们把「AI 能贡献决定性思路的合作者」的界线，第一次同时落到「机器可验证书」上。这是与 07-19 森多夫猜想、07-20 Crouzeix 猜想不一样的点：前两次的成绩其实是「人写证明，AI 协助找思路」，这次的成绩是「数学家定问题，AI 改写求解器，证书可机验」。三种模式正在 2026 的夏末并排出现。

4. 三个诚实的限制

第一，这次结果尚未被独立复现。AlphaEvolve 跑出来的 ω < 2.371177 是 DeepMind 自己的计算。要等 arXiv 上有人重复，或者作者把验证仓库公开。论文提到验证代码与找到的可行解「正在准备中的代码仓库」，还没发。这一步不发出去，独立交叉验证就只能停一停。

第二，这个上界几乎不会让真实矩阵乘法变快。ω 是个下确界，跟现有算法的「交叉点」——也就是 faster than schoolbook 的矩阵阶数——远远大于「任何真实计算会用到的阶数」。这些算法都是 galactic algorithms，再漂亮的渐近界也不会让 BLAS 库更新。换句话说，对训练一个矩阵乘法协议的速度，对训练一个扩散模型的速度，没有任何影响。

第三，AlphaEvolve 的功劳范围被框住了。它改写的不是「ω」的证明路径，而是「优化器的代码」。问题层、参数空间、可行的组合方法都是人类重写出来的；机器搜的是已经定义好的搜索空间。这一点上新闻标题「AI 推进 57 年数学难题」其实有点偏向，准确的描述是「DeepMind + 数学家协作，把搜索规模拉大到一个新量级」。但这是很关键的进步，因为搜索规模拉大同样属于 57 年来每一次前进的必要条件。

5. 它意味着什么

这条赛道有一个特点：每届之间的间隔越来越短。从 1978 年 Pan 2.781，到 1990 Coppersmith-Winograd 2.3755（这一节后被戏称为「CW 凸优化上界」），到 2010 Stothers 2.387，到 2020 Alman-Williams 2.372869，到 2024 Alman 2.371339，到 2026-08 AlphaEvolve 2.371177。每一次推进都很难，但 AI 介入后，搜索规模成了一个新工具：以前人类的优化算法是被自身算力卡死的，现在可以让 AI 同时跑上千次、迭代修改代码。这种「AI 不证明数学，但是加速数学的工具」的模式，会在更多记录上复现。

arXiv 摘要页上没有挂机构，团队主要由 DeepMind 9 人加 Carnegie Mellon、Columbia、MIT 三校各一人组成。第一作者 Emilien Dupont 是 DeepMind 的研究科学家，长期做 neural network interpretation、AlphaEvolve 一类的自动代码发现方向；通讯作者 Matej Balog 同在 DeepMind；Josh Alman 与 Virginia Vassilevska Williams 是把这条路上届记录 Ω < 2.371339 推到接近本次成绩的人，同时也是论文共同作者。这就是为什么这次看似「突然的小推进」，背后其实是同一个数学圈 + 同一个 AI 圈的合作链在续命。

参考来源

• arXiv 2608.16884：Improving the matrix multiplication exponent with modern optimization and AlphaEvolve（DeepMind / CMU / Columbia / MIT，2026-08-17 17:59 UTC 提交）：https://arxiv.org/abs/2608.16884
• AI Brief 18 August 2026: a sharper matrix multiplication exponent, with AlphaEvolve in the loop（独立技术评论，2026-08-18）：https://muhammad-ahmed.com/blog/ai-brief-matrix-multiplication-exponent
• DEV.to：AlphaEvolve helped tighten the matrix multiplication exponent, and the proof was checked in exact arithmetic（独立技术解读，2026-08）：https://dev.to/breachprotocol/alphaevolve-helped-tighten-the-matrix-multiplication-exponent-and-the-proof-was-checked-in-exact-2fhi
• Alman, Duan, Williams, Xu 等：More asymmetry yields faster matrix multiplication（SODA 2025，前届上界记录 2.371339 的来源）
• Duan, Wu, Zhou 等：Fast Matrix Multiplication via Group Leaders（combination loss analysis 起点，2022）
• Williams, Xu, Xu, Zhou：New Bounds for Matrix Multiplication withapplications to GRH and beyond（2024）