AI 工程地基 14｜范数与距离：换一把尺子，最近邻就换人

「AI 工程地基」系列第十五篇。把 GitHub 上 58k star 的开源课 AI Engineering from Scratch（MIT 协议）一课一课啃完、核完、讲完。今天第 14 课：范数与距离，Build 型，90 分钟，前置是前几课的线性代数。

你每天写的「找相似」其实是选尺子

一个具体场景。你写了一行代码，从向量数据库里捞出十条最像用户问题的文档。你调用的是 similarity_search，你选的是 cosine。这个选择你大概没多想——反正大家都是余弦。

这课要说的就是：这个「没多想」决定了你系统里「相似」这个词的全部含义。KNN 分类器、推荐引擎、聚类、损失函数、正则化，全都站在你选的那把尺子上。尺子换了，最近邻换人。

先看尺子本身。范数就是量向量的「大小」。L1 是曼哈顿：横着走加竖着走，(1,1) 到 (4,5) 是 3 加 4 等于 7 个街区。L2 是直线：勾三股四弦五，答案是 5。L∞ 最狠，只看差异最大的一维：别人问「你们差多少」，它回答「差得最多的那一维差 4」。同两个点，三把尺子三个答案：7、5、4。谁都没算错。

p 趋于无穷时 Lp 范数收敛到最大分量，这不是规定，是极限——你取的幂越高，大分量的话语权越大，取到无穷，小的全被淹死。所以单位球的形状随 p 变形：p=1 是菱形（角在轴上），p=2 是圆，p=∞ 是方形。记住这三个形状，下面正则化要考。

余弦量的是另一个东西：角度。两篇文档，一篇两倍长，内容比例一样，L2 会说它们差得远，余弦说完全相似——模长是噪声，方向是含义。这就是它在 NLP 一统天下的原因。点积是没归一化的余弦，模长信息混在里面；嵌入归一化之后，两者完全一样。

再往深一层：马氏距离量的是「在数据的形状里你有多反常」。身高体重强相关，六尺二寸配 180 磅很正常，五尺配 180 磅就很反常——欧氏距离看不出这个区别，马氏距离把协方差矩阵算进去，先白化再量。课程 demo 实测：沿着相关轴走 3.84 个单位，马氏距离只有 0.98；垂直方向走 3.16 个单位，马氏距离 3.86。欧氏说前者更远，马氏说后者反常四倍。同一份数据，两个结论。

然后是几个非向量世界的尺子。Jaccard 管集合：交集除并集，分割模型里的 IoU 就是它。编辑距离管字符串：kitten 变 sitting 要三次操作，动态规划填一张矩阵就能算。KL 散度管分布，但课程花了整整一节强调：它不对称、不满足三角不等式，是散度不是距离。Wasserstein 也管分布，它是真度量，而且分布完全不重叠时依然给出有限的数——KL 在这种时候直接跳无穷，梯度就死了，这是 WGAN 换掉它的原因。

最后是正则化，这课埋的一条暗线。往损失里加 L1 范数（Lasso），权重会成片变成精确的零；加 L2 范数平方（Ridge），权重集体变小但没有一个精确为零。为什么？回到那三个形状。约束区域是菱形时，损失等高线（椭圆）最可能撞在菱形的角上——角在轴上，轴上意味着某些权重是零。圆形没有角，撞哪都是光滑点，两个权重都活着。L1 的稀疏性和 L2 的平滑性，不是玄学，是几何。

过一遍海关

老规矩，代码跑一遍，数字逐条核。这课的数字绝大多数是干净的：编辑距离六个案例全对（algorithm 到 altruistic 是 6，python 到 pytorch 是 4）；Wasserstein 五个案例用 CDF 法手算全部吻合；L∞ ≤ L2 ≤ L1 的排序断言五次随机试验全部成立；KL 不对称的演示是真实的（0.368 对 0.511）；归一化后点积等于余弦，六位小数一致。

但有两个演示，标题许了愿，跑出来没兑现。

第一个叫「同一数据，不同度量，不同最近邻」。代码造了 8 个点，打印四种度量下各自的最近邻。实测：L1 选 Point 0，L2 选 Point 0，余弦选 Point 0，L∞ 还是 Point 0。四个度量意见完全一致。demo 结尾本来有一段「度量们意见不合」的打印，触发条件是四家选出不同的人——没触发，沉默地跳过去了。

第二个更直接，标题就叫「距离度量改变预测」。9 个训练点分三类，query 放在 (2.8, 2.8)，四个度量各自跑 k=3 的 KNN。实测：四个全部预测 C 类。一个都没换。

是现象不存在吗？不是。我把同一个训练集扫了 121 个 query 位置，42 个位置上四个度量给出不同预测。最戏剧性的位置在 (1.0, 0.5)：L1 投 A，L2 投 C，余弦投 B——三个度量三个答案。query 从 (2.8, 2.8) 挪到 (1.0, 0.5)，标题就兑现了。课程的 query 恰好落在离 C 类中心 0.28 的舒适区，那里所有尺子量出来都是同一个邻居。练习 3 让学生「找一份数据集让四种度量意见全不统一」——这件事课程自己的演示没做到，变成了作业。顺带说，这个作业可解：我造了个四点的最小例子，query 是 (1,1)，L1 选 (1,3)，L2 选 (2.95,1.3)，余弦选 (5,5)，L∞ 选 (1.95,2.9)。四个度量，四个答案，一个不重。

第二个发现关于双重标准。课程踢 KL 出距离俱乐部的理由写得很清楚：不对称，不满足三角不等式。这两条我都核过，对。但用同一道门审它自己的余弦距离：1 减余弦，对称性过，三角不等式不过。反例用课程自己教的例子就能搭：a=(1,0)，b=(0,1)，c 取它们夹角的平分线方向。cos_dist(a,b) = 1，cos_dist(a,c) + cos_dist(c,b) = 0.293 + 0.293 = 0.586。直走的路比绕路的贵，三角不等式被违反。数学上这是老结论：1 减余弦不是度量，真正的角度度量要开 arccos 再除 π。工程里没人管这个——向量数据库照用，也确实能用作排序信号——但课程对 KL 严、对余弦宽，一边用度量公理把 KL 踢出去，一边让过不了同一考试的余弦距离坐进所有「何时使用」的表格里，全程无一字警示。顺带，正文开篇断言「两个向量之间的任何距离函数都能写成它们差的范数」——余弦距离恰好不能，它是单位化后差向量范数平方的一半，不是范数本身。

第三个发现是接口不设卡，这课第三次出现这个家族。kl_divergence 用 Python 的 zip 配对，长度不等的两个分布静默截断：KL([0.9,0.1] ‖ [0.5]) 不报错，算出 0.529。更狠的是不验归一化：KL([0.9,0.1] ‖ [0.9,0.2]) 吐出 -0.069，一个负的 KL。数学上 KL 恒非负，这是 Gibbs 不等式的保证；给它两个没归一化的「分布」，它就安静地返回一个数学上不可能存在的数。隔壁 wasserstein_1d 在 bin 数不等时设了断言（好事），但两边质量和不验：[0.5,0.5,0,0] 对 [0,0,0.5,0.9]，右边总质量 1.4，照样出数 2.4。一个是「函数名说算分布，什么输入都算」，一个是「卡了一半」。

第四个发现，正则化 demo 的机制错位。正文教的稀疏性机制是等高线撞菱形的角——这是对的，标准图像。demo 实现的是另一回事：每步把每个权重朝零推一个固定步长，跑 50 步，总预算 0.1 乘 50 等于 5。初始权重的最大绝对值只有 2.995，预算比谁都大，结果 10 个权重全灭，10/10 个零。这演示的不是稀疏性（有零有非零才叫稀疏），是全灭。而且纯衰减过程里没有损失函数拉住任何权重，跟正文教的「等高线与角点相遇」是两套机制。把步数从 50 改到 10（预算 1.0），同样的代码立刻变成真稀疏：8/10 归零，1.404 和 -2.995 两个大权重存活——小权重死、大权重活，这才是 Lasso 的行为。旁边 L2 的 demo 有个显示问题：权重每步乘 0.8，50 步后是初值的 1.4×10⁻⁵ 倍，打印保留三位小数，十个权重全显示 0.0——「永不精确为零」这个卖点被自己的打印精度藏住了，得看旁边用 10⁻¹⁰ 做阈值的判零行才知道一个都没到零。

小账三条。马氏距离 demo 打印「r ~ 0.8」，实测相关系数 0.923——构造数据的斜率 0.8 被当成了相关系数报出来，这是一门刚教完协方差的课。关键术语表说 KL「测量用 Q 编码 P 多付的比特数」，代码全程用自然对数，demo 自己打印的单位是 nats（纳特）——比特要换底 log2，同课两个单位口径。任务对照表把 KL 散度列在「最佳距离」列里，正文刚花一节说它不是距离；表格没重申，粗读者会当距离背下来。另有一处无害的：损失函数表里 Hinge loss 写作 max(0, margin - d)，这个 d 全文没定义过。

最后留一个练习 4 的账，它设计得好：[0.5,0.5,0,0] 对 [0,0,0.5,0.5] 的 Wasserstein 是 2.0（两坨质量各自整体搬两格），[0.25,0.25,0.25,0.25] 对 [0,0,0.5,0.5] 是 1.0（均匀分布有一半质量本来就在右边原地不动）。同一个终点，起点铺得越开，要搬的功越少。想亲眼看「换尺子换邻居」，把课程的 query 从 (2.8,2.8) 改到 (1.0,0.5)，跑一遍那四个 KNN——L1 说 A，L2 说 C，余弦说 B。那一行改动，就是这一课全部论点的现场演示。

原课：ai-engineering-from-scratch 第 14 课 Norms and Distances（Rohit Ghumare，MIT 协议）。系列前篇见主页。全文翻译已存档。