随机过程：走一万步，平均离家八十格

这是「AI 工程地基」系列第 22 课。一个 58k star 的开源课，把 AI 背后的数学一块一块拆开讲。这一讲是随机过程——随机游走、马尔可夫链、朗之万动力学、扩散模型，四样东西一条线。也是第一季数学地基的最后一课。

从一枚硬币开始。你站在数轴的 0 点，抛一次硬币，正面走一步，反面退一步。抛一万次之后，你大概在哪？

直觉说：硬币公平，正反各半，那应该还在 0 附近。这个直觉对了一半。期望位置确实是 0。但你这个人，几乎从不会真的站在 0 上。一万步之后，你会散落在离出发点一百上下的某个地方——往哪边偏都有可能，但离家的典型幅度，是可以算死的。

一万步之后，你平均离家多远

答案是八十格，不是一百格。

先把一百格的来历说清楚。每一步是正一或负一，各占一半。单步的方差是一，一万步是独立的一万步加起来，方差直接相加，等于一万。方差开根号，就是一百。这叫均方根距离：把所有可能的终点先平方、取平均、再开方。它回答的问题是「典型偏差有多大」。

但「平均离家多远」是另一个问题。要把终点的距离直接取平均，不带平方。平方这个东西偏爱大偏差，一百步以外的大偏移被平方放大后，把均方根撑高了一截。直接平均的结果是 79.8 格——均方根乘以根号下二除以圆周率，0.798 这个系数就是两个问法的差距。

我跑了两千次一万步的游走做对照。平均绝对位置 79.7，标准差 99.8。和理论严丝合缝。二维的版本（上下左右四方向各四分之一）也有同样的事：平均距离 88 格，均方根 100 格，系数换成 0.886。

课文的原文写的是「expected distance from origin ~ 100」，课程代码里那行打印也标着 Expected distance: 100.0。标签写错了。一百是标准差的名字，不是期望距离的名字。这不是大事，两个数只差百分之二十五。但如果你拿随机游走去估算什么东西的活动范围——机器人搜索半径、资产波动尺度——把标准差当平均距离用，预算就虚高四分之一。

有趣的是，课程自己的练习提示把一百用对了地方。它说：终点大概有 68% 落在负一百到正一百之间。这是把一百当标准差使，68% 是正态分布一倍标准差的覆盖比例。我实测是 68.9%。同一个数字，在一个地方当标准差用是对的，在另一个地方被叫成期望距离，就滑掉了。顺便说，课程代码里那行打印配的随机种子，实际跑出来离家 26 格。单次路径本来就在大幅波动，这不说明任何问题——它只是再次提醒你，单个样本对不上任何平均值。

还有个更古典的结果也顺手验证了。一个赌徒从 25 块钱起步，赢了加一块输了减一块，到 100 块收手、输光离场。公平游戏下，他摸到 100 块的概率恰好是 25 除以 100，四分之一。一万次模拟，0.248。这种简洁来自公平游走是鞅——期望的未来值等于当前值，不增不减。

天气、矩阵、和一条会忘记起点的链

把「下一步去哪」写成一张表，就是马尔可夫链。晴天之后七成还是晴天，一成下雨，两成转阴。雨天和阴天各有自己的行。整个天气系统就是一张三乘三的转移矩阵，每行加起来是一。

这张表跑久了，会忘记自己从哪出发。从晴天出发和从雨天出发，各自转移一百步之后，晴雨阴的比例都会停在同一个地方：晴 0.545、雨 0.182、阴 0.273。课本写的是 0.55、0.18、0.27，四舍五入后的数。精确值是十一分之六、十一分之二、十一分之三。这个分布满足一个漂亮的性质：再转移一步，分布纹丝不动。它就是矩阵特征值为一的那个特征向量。

「忘记起点」的速度也可以算。把任意初始分布反复右乘转移矩阵，每次乘都把「非主特征值方向」的成分按比例压缩。天气链的第二大特征值是 0.36，每乘一次，偏离量缩到 36%。实测从纯雨天出发，十五步之后和平稳分布的差距就小于百万分之一了。

衡量这个快慢的量叫谱隙：一减去第二大特征值。天气链的谱隙其实不小，所以忘得快。课程在这节给了一段代码算谱隙，矩阵是 [[0.9, 0.1], [0.3, 0.7]]。跑出来的结果：特征值是 1 和 0.6，谱隙 0.4，混合时间大约 2.5 步。但正文文字里写的是「谱隙 0.2 大概意味着五步混好，谱隙 0.01 大概一百步」。文字里的 0.2 是别的矩阵的数，跟这段代码算出来的 0.4 对不上。你跑代码看到 2.5 步，读正文看到 5 步，是两个不相干的例子在各自说话。另外严格讲，一除以谱隙算出来的是弛豫时间——偏离量衰减到 e 分之一要多久。真正严格定义的混合时间还要多乘一个对数因子。教学上量级是对的，做精确表述时要留意。

顺带一句，谱隙这个概念在机器学习里有个大用处：判断一条采样链要烧多少算力才值得开始收集样本。混合慢的链，白烧。

语言模型那条链，近似在哪

课文说，语言模型的 token 生成近似一个马尔可夫过程。这个「近似」值得掰开。

如果状态是「上一个词」，那它不是马尔可夫——下一个词的分布依赖整个前文，不是只依赖前一个词。但如果状态是「整段上下文」，那它严格马尔可夫：给定已有的全部上文，下一个词的分布就定下来了，更早的历史不再提供额外信息——因为更早的历史已经整段躺在上文里了。真正的近似在别处：上下文窗口有边，超出窗口的内容被切掉。所以准确的说法是，语言模型是以整段前文为状态的马尔可夫链，只是状态空间大到装不下，只能截断着用。

你调的温度，就是在改这条链的转移概率。温度低于一，分布变尖，下一步更确定；高于一，变平，更随机。Top-k 和 top-p 是另一种改法：直接把转移概率表截短。

提议、接受、拒绝：从够不着的分布里采样

很多分布你算得出却采不了。贝叶斯后验是典型：似然乘先验写得出，归一化常数是个积分，积不动。

Metropolis-Hastings 的思路是：造一条马尔可夫链，让它的平稳分布恰好就是你要的那个。每一步，从当前位置附近提议一个新点。新点的概率更高，直接搬过去。概率更低，按概率比值的大小，掷骰子决定搬不搬。妙处在于所有计算只用到了概率的比值——那个积不动的归一化常数，分子分母一约就消失了。

课程的双峰实验很能说明问题。目标分布是两个对称的山头，分别在正三和负三。从左峰出发的采样器，要能跨过中间的山谷爬到右峰，才算真的采到了这个分布。实测十万步提议之后，样本落在左边的占 49.77%，右边 50.23%，均值 0.02。链是通的。

这门手艺里有个著名的经验数字：接受率调到 23% 附近最好。课文也是这么教的。但这个数有它的出处——它是一维以上、维度趋于无穷时的渐近值，Roberts、Gelman、Gilks 三个人九十年代算出来的。他们同一系列的工作里其实还写了：一维的最优接受率大约是 44%。课程引用的那篇 Roberts 和 Rosenthal 的综述里就有这个数，正文只抄了高维的那一半，而课程所有演示代码全都是一维的。

一维里实测是什么样？拿标准正态分布当目标，扫一遍提议步长：步长 0.5，接受率 84%，采样器在原地小碎步，有效样本量（扣掉自相关之后的样本数）只剩不到九百；步长 2.4，接受率 44%，有效样本量四千五，全场最高；步长放大到 6，接受率 21%，看着很接近那个著名数字，有效样本量反而掉了四成。一维的问题上，44% 才是要瞄准的靶心。课程仓库自带的演示参数表也佐证这件事：它扫的五个步长里，接受率 54% 的那一档对应步长 2.0，正是表现最好的区间。

梯度下降，加一点噪声

朗之万动力学把「优化」和「采样」焊在一条更新公式里：每一步先沿负梯度走一小步（这是梯度下降在找能量低处），再随机抖一下（这是噪声在防止你卡死）。温度为零，纯梯度下降；温度升高，越来越像随机游走。平衡之后，粒子的位置分布正比于能量函数的负指数——能量越低的地方待得越久，但哪里都去得成。

课程练习里那个双井实验值得亲手跑一遍。能量函数是 (x²−1)²，两个井底在正一和负一，中间的势垒高度只有一。从右井出发跑十万步，数一数轨迹穿过零点的次数：温度 0.05，零次；0.10，零次；0.15，六次；0.20，二十八次；0.25，一百三十三次。势垒的高度没变，温度过了某个坎，一堵墙忽然就变成了门。这个坎的陡峭程度本身是指数型的——物理里叫 Kramers 逃脱率，势垒除以温度待在指数位置上，低温下指数大，穿墙概率小到宇宙年龄都等不来。扩散模型采样时要不要跨模式、模拟退火该降多快，背后都是这面墙。

扩散模型：把噪声走进去，再原路走出来

扩散模型的前向过程，就是离散版的布朗运动。每一步，图像乘上一个略小于一的系数（信号略缩水），加上一份小噪声（噪声略增大）。参数 β 控制每一步的配比。一百步之后，图像理论上应该变成纯高斯噪声。

「理论上」三个字里埋着全部工程。判断有没有走到纯噪声，标准是那个连乘量 ᾱ——一百个 (1−β) 乘在一起。它得多接近零，信号才算死透。

课程代码的默认参数，β 从 0.0001 涨到 0.02。一百步下来 ᾱ 是 0.36。意思是信号只衰减到六成——余下的图像和原始信号的相关度实测还有 0.58，一眼就能看出原型的影子，离纯噪声差得远。课程仓库自带演示的参数（β 到 0.05）好一些，ᾱ 是 0.075，相关度 0.29。但演示的结论文案写的是「第一百步：几乎纯噪声，相关度接近零」。0.29 不是接近零。而课程练习五的提示里自己教了判据：ᾱ 离零还远，就该把 β 终值调大。按它自己的判据，把 β 终值拉到 0.2，ᾱ 变成十万分之二，相关度 0.09，这才算真的糊成噪声。演示的参数，没过演示自己教的那条线。

反向过程是这条链倒着走。神经网络学会预测每一步掺进去的那份噪声，然后逐步减掉它。这里有个值得亲手验的细节：前向过程有个封闭公式，一步到位——x_t 等于根号 ᾱ 乘原图，加根号 (1−ᾱ) 乘一份固定噪声。把这个式子反解回去，(x_t 减去根号 (1−ᾱ) 乘 ε) 除以根号 ᾱ，能精确还原原图。我用课程练习提示的那个式子验证：误差 4×10⁻¹⁶，机器精度，分毫不差。这一步不是统计，是代数——加噪过程里噪声就是存下来的那份，当然能精确减掉。真正难的是反过来从一份你没见过的噪声里，猜出该减掉什么。那才是网络要学的活。

收在这一步

二十二次课，数学地基到今天走完。最后这课的练习四留给想动手的人：把温度从 0.05 一路扫到 1.0，盯着那组翻墙次数——0、0、6、28、133——找你自己的那扇门什么时候开。

（系列此前各课见板块内其他帖子。原文：ai-engineering-from-scratch，Rohit Ghumare，MIT 协议。）