AI 工程地基 33｜二十一个六十分，凑出一个八十二分

1785 年，法国数学家孔多塞琢磨过一个陪审团问题：如果每个法官只有六成把握判对，多拉几个法官投票，能不能把判对的概率抬上去？

这个能算。21 个互相独立的法官，每人判对概率 0.6，多数票判对的概率就是一个二项分布的求和，算出来约 82.6%。法官扩到 101 个，概率升到 97.9%。

这课教材上也印了这两个数，印的是 74% 和 84%。我拿二项分布重算了一遍：21 个六成，是 82.6%，不是 74%。101 个六成，是 97.9%，不是 84%。84% 倒是另一道题的答案——每人只有 55% 把握、101 个人，算出来正好 84.4%。书把两处的数都印小了，第二个像是把成员 55% 的情形错记成了 60%。

数字印小了，道理没坏：一群勉强及格的判断，只要错得互不相同，投票能投出一个优秀的结果。这一课讲的就是怎么造出这样一群判断，怎么组合它们，以及组合的代价在哪。

前提比你以为的硬

多数投票有效的关键是「错得互不相同」。书上提了一句：如果所有模型犯同样的错误，组合毫无帮助。这句话有多硬？拿实验说话。

造 21 个分类器，每个单独准确率 60%，但让它们的错误带一份共同因子——用参数 ρ 控制错误之间的相关程度。ρ=0 是完全各错各的，ρ=1 是所有模型错得一模一样。中间取几档：

ρ=0，多数投票 82.6%，比单模型高 22.5 个百分点。ρ=0.5，掉到 63.5%，增益只剩 3.5 个点。ρ=0.8，61%，只剩 1 个点。错误相关性从零爬到八成，集成的增益就从 22 个点缩水到 1 个点。

这就是为什么「多弄几个模型」说起来容易做起来难。模型如果读同一份数据、学同一套规律、犯同一批错，它们就还是同一个模型。集成方法费的所有力气，本质上都在制造「不一样的错误」：换样本（bagging）、换特征（随机森林）、让后面的模型盯前面的错题（boosting）、换模型家族（stacking）。

Bagging：换着样本训练，把抖动平均掉

Bagging 的做法最直白。从训练集里有放回地抽一份同样大小的新样本，抽 N 次，训练 N 个模型，预测取平均。有放回抽样有个数学性质：一份 bootstrap 样本大约覆盖原数据的 63.2%，剩下 36.8% 没被抽到。这些「袋外」样本白送一个验证集，不用额外留数据。

每个模型在自己的样本上过拟合，但过拟合的方向各不相同，平均一下就互相抵消了。所以 bagging 治的是方差——预测的抖动。

那到底能压掉多少？理论最好的情形，20 个完全独立的模型取平均，方差应该压到单模型的 1/20。我在课程的数据生成器上做了个实验：重复训练 40 次，每次一棵深度 5 的单树，外加一个 20 棵树的 bagging，比较它们预测的方差。结果单树方差 0.764，bagging 0.337，比值 0.44。

20 棵树只把方差砍掉一半多点，不是砍掉 95%。原因还是那个 ρ：bootstrap 样本之间共享大约六成的原始数据，树与树的错误相关，平均只能消掉互不相同的那部分。这是 bagging 的真实折扣，书上没写。

顺带一提，课程 demo 里有一行打印写着「Variance reduction: +0.113」，看着像方差的改进，其实印的是准确率差：单树 0.750，bagging 0.863，差 0.113。准确率的差不是方差，这是把两个量写串了。

AdaBoost：让下一个模型盯住错题

Bagging 是各自为战，boosting 是接力。AdaBoost 的流程是：先给每个样本同样的权重，训练一个弱模型（通常是一刀两断的决策桩）；算它的加权错误率，错误率越低，这个模型在最终投票里的话语权（α）越大；然后把被它分错的样本权重调大，下一个模型自然会盯着这些错题使劲。如此循环几十轮，最后的预测是所有模型的加权和。

公式不长，权重更新的那行是 w 乘以 exp(-α·y·h(x))：分对的样本权重缩水，分错的膨胀。

AdaBoost 有个漂亮的数学保证：训练错误率有一个上界，随轮数指数下降。这个保证是真的，我在一份噪声水平 0.35 的数据上跑了 300 轮：训练准确率从 0.816 一路涨到 0.991，错误率上界收紧到 0.158，指数下降如实兑现。

测试集呢？最优成绩出现在第 14 轮，0.863；第 300 轮，0.850。从头到尾在 0.85 附近抖。

这就是那段数学的边界：定理管的是训练集。训练错误率降下去和测试成绩涨上去，是两件事。书上说过拟合那段话方向是对的——轮数太多，模型开始死磕那些分不对的样本，而其中一些本来就是噪声，怎么磕都磕不对。只是想亲眼看见这件事，你要盯的不是测试曲线（80 个测试样本，错一个就晃 1.25 个百分点，曲线天然是毛的），而是训练和测试之间越拉越开的剪刀差。

梯度提升：在残差上盖楼

梯度提升把 boosting 推广到任意损失。它的思路更直白：训练完当前模型，算出每个样本的残差（真实值减预测值），让下一棵树去拟合残差。每棵树都在前面所有树留下的错误上盖楼。平方损失下，损失函数的负梯度恰好就是残差，所以「拟合负梯度」在这里就是「拟合错误本身」。

课程的伪代码里有个步骤挺唬人：每轮要用线搜索找最优步长 γ。实现里直接跳过了这步。我替它补算了一下：平方损失下，γ 每轮算出来都是 1.0000000000，一步不多一步不少。带着 γ 跑 100 轮，测试误差 0.372；不带 γ 跑，0.373。跳过它是对的——这步是给别的损失函数准备的，在平方损失上是死代码。

学习率（收缩）控制每棵树贡献的力度。课程 demo 扫了一张表：学习率 0.5 配 20 棵树，误差 0.376；0.1 配 100 棵，0.307；0.05 配 200 棵，0.297；0.01 配 500 棵，0.465。表格下面印着一句总结：「更小的学习率需要更多树，但往往泛化更好。」

「往往」两个字撑不住自家这张表。表里最小的学习率恰好是最差的那行。细看还有个更简单的解释：前三行的学习率乘树数都等于 10，最后一行等于 5——最小的那行不是学得慢更稳，是总步数没给够，500 棵树还没爬完坡。学习率确实是个抗过拟合的手段，但调太小的代价是真金白银的树。

Stacking：让一个模型学会该信谁

Stacking 换了个思路：把几个基模型的预测当作新特征，喂给一个元学习器，让它学「什么输入该信哪个模型」。森林擅长这片、SVM 擅长那片，元学习器学会分工。

这里有个容易踩的坑，课程做对了：元特征必须用交叉验证生成。如果基模型在自己训练过的数据上出预测，再拿这些预测去训元学习器，等于让元学习器看了一份过于乐观的成绩单。课程的做法是把训练集切五折，每折的预测都来自没见过它的基模型。

但课程的 demo 在另一处滑了一下：图上画的三个基模型是随机森林、SVM、逻辑回归，练习里建议逻辑回归、决策树、k 近邻，实际代码里站的三个是——同一棵决策树，只是深度分别是 3、5、7。

深度不同，错误可未必不同。三个同家族的模型读同一份数据，犯的错高度重合，元学习器拿到三列差不多的特征，能学的空间很小。实测结果也配合这个判断：三个基模型最好的单跑 0.825，stacking 叠完 0.838，挤出 1.3 个百分点。多样性得来自错误的不同，不是深度的不同。

元学习器那几行代码还有个 bug。它用 tanh 做输出，求梯度时写的是「误差乘特征」——漏乘了 tanh 的导数，链式法则断了一环。在权重接近零的地方，tanh 的导数恰好是 1，两边的梯度一样，看不出来；离开原点，错梯度比真梯度大 5.6 倍。demo 没被打死，是因为这个玩具里模型多数时候待在线性区。你要是复用这段代码去拟合更强的非线性，它的步子会在该小的地方迈大。

拿到一张表前，先看看表说了什么

课程最后并排跑了四个模型：手写 AdaBoost 0.870，sklearn 的 AdaBoost 0.880，随机森林 0.890，梯度提升 0.910。手写版离生产实现差 1 个点，这个距离是合理的。

但另一张对比表值得一说。单树 0.870，bagging 0.880，AdaBoost 0.870。AdaBoost 和单树打了个平手。表下面照样印着总结：「bagging 降方差，boosting 降偏差。」前半句有 1 个点的支撑，后半句在这张表上是零—— boosting 在这份演示里一个点的偏差都没降。结论本身不是错的（换个数据、换个基学习器它能降），是这张表没撑住它。同一份代码在另一个 demo 里 bagging 从 0.750 涨到 0.863，那才是结论该去的地方。

还有个更小的毛病：梯度提升那张五行表，100 棵树印误差 0.307，200 棵印 0.279，最后一行总结写「GBM 100 MSE: 0.279」——把 200 棵的数贴给了 100 棵的标签。抄自己表格时看串了行。

实战清单

真拿表格数据干活，课程的路线图是实用的。第一发上 LightGBM 或 XGBoost 默认参数；不行就调四个旋钮——树数、学习率、深度、最小叶子权重；还差最后半个点，用三五个真正不一样的模型搭 stacking；全程交叉验证。神经网络在表格数据上偶尔能打平，很少能打赢调好参的梯度提升，这条经验短期内不用质疑。

XGBoost 快且稳的底气在工程：叶子权重的正则惩罚、损失的二阶导数、缺失值原生处理、列采样、缓存友好的数据结构。算法是梯度提升，快出来的每一分都是实现给的。

回到开头的陪审团。21 个 55% 的法官投票，能投出多少？67.9%。现在你有二项分布，这个数你自己就能算——顺带可以验证一下，书上那两个印小的数字，到底是印错了，还是换了参数没说。

信源：rohitg00/ai-engineering-from-scratch（MIT License）Phase 2 第 11 课 Ensemble Methods。孔多塞概率、方差比、梯度对照均为本文按课程代码与公式独立复算。