粗糙素数：数学家如何用模糊打败精确

2024 年 7 月，爱丁堡的一场数学会议茶歇间，Mehtaab Sawhney 见到了他崇拜已久的 Ben Green。Sawhney 刚从研究生院毕业，Green 二十年前证明的一个结果"是把我带入这个领域的原因之一"。Green 也在打量这位年轻人——"Mehtaab 是一个非凡的数学家，"他后来回忆，"他什么都知道。"

两人决定合作。他们只需要找一个合适的问题。

他们不知道的是，接下来几周，他们会解开一个困扰数学界 384 年的谜题的最后一环。而关键工具，来自一个看起来和素数毫无关系的领域。

一、费马种下的种子

1640 年，皮埃尔·德·费马在信件的空白处写下一个猜想：存在无穷多个素数，可以写成两个完全平方数之和。

13 = 2² + 3²。29 = 2² + 5²。41 = 4² + 5²。

一个世纪后，莱昂哈德·欧拉证明了它。从那以后，数学家们开始玩一个游戏：把约束越收越紧，看看素数还能不能撑住。

1990 年代，John Friedlander 和 Henryk Iwaniec 证明了存在无穷多个形如 a² + b⁴ 的素数——一个平方加一个四次方。2018 年，他们提出了一个更刁钻的问题：

> 如果 p 和 q 本身都是素数，是否存在无穷多个形如 p² + 4q² 的素数？

举两个例子感受一下。41 = 5² + 4×2² = 25 + 16。149 = 7² + 4×5² = 49 + 100。两个式子里，5、2、7、5 和结果 41、149 全是素数。

看起来简单。但 Green 说了一句话道破天机：

"你越约束一个集合，就越难在它里面找到素数。"

二、为什么这么难

想象你在一片沙滩上找珍珠。素数就是珍珠——它们稀疏地散落在数轴上，没有明显的规律。

费马问的是：沙滩上有没有无穷多颗珍珠？欧拉说有。

Friedlander-Iwaniec 2018 年的猜想问的是：如果珍珠必须由两颗更小的珍珠"组合"而成呢？p² + 4q² 这个形式要求 p 和 q 本身都是素数——相当于珍珠里面还得嵌着珍珠。

传统的计数工具在这里失效了。数学家通常用"筛法"来数素数——就像用筛子筛沙子，把非素数筛掉，剩下的就是素数。但当约束这么强时，筛子的孔径必须极其精细，精细到筛子本身就没法用了。

Green 和 Sawhney 在 Oxford 的一周里，对着黑板讨论了好几天。传统路径走不通。

然后他们想到了一个奇怪的主意。

三、粗糙素数：模糊的珍珠

如果数不清真素数，能不能数"差不多是素数"的数？

他们用了一个叫"粗糙素数"（rough primes）的概念。定义很简单：不被前几个小素数（2、3、5、7）整除的数。

在 1 到 200 之间，有 50 个粗糙素数。其中 46 个是真素数，4 个是假阳性——121（=11²）、143（=11×13）、169（=13²）、187（=11×17）。

粗糙素数比真素数多一点点，但它们的分布更"乖巧"——更容易被数学家理解。

"粗糙素数是一个我们理解得远远更好的集合。" Sawhney 说。

Green 和 Sawhney 先证明了：存在无穷多素数可以写成两个粗糙素数的平方和。这一步相对容易。

但问题来了：这能推出真素数的版本吗？

四、Gowers 范数：一把被遗忘的尺子

粗糙素数和真素数是不同的集合。证明前者的结果，不自动推出后者的结果。Green 和 Sawhney 需要证明：对于他们关心的问题，两者"等价"。

这需要分析一类叫 Type I 和 Type II sums 的函数。如果粗糙素数和真素数给出相同的 Type I/II sums，那么替换就是合法的。

但他们怎么证明这两个集合"从某个角度看是一样的"？

答案来自一个意想不到的地方。

2000 年代初，剑桥大学的 Timothy Gowers（后来获得了菲尔兹奖）开发了一个叫"Gowers 范数"的工具。它的作用是测量一个数列"有多随机"或者"有多结构化"。

Gowers 范数看起来和素数计数毫无关系。Sawhney 自己说："作为外人，几乎不可能看出这些东西是关联的。"

但 2018 年，Terence Tao 和 Tamar Ziegler 证明了一个里程碑结果，把 Gowers 范数和 Type I/II sums 连接了起来。

更巧的是，Sawhney 在那一年早些时候，为了解决一个完全不相关的问题，独立开发了一个用 Gowers 范数比较集合的技巧。

所有零件都在那里。Green 和 Sawhney 把它们拼在了一起。

用 Gowers 范数，他们证明了粗糙素数和真素数有相同的 Type I/II sums。粗糙版本的结果可以"翻译"回真素数版本。

Friedlander-Iwaniec 的猜想被证明了。存在无穷多个形如 p² + 4q² 的素数，其中 p 和 q 都是素数。

五、模糊才能看见

这个故事最让我着迷的地方，不是结果本身，而是方法。

数学给人的印象是精确的——你要么证明了，要么没有。但 Green 和 Sawhney 的路径恰恰相反：他们放弃了精确，才看到了真相。

真素数太刁钻了。它们的分布像夜空中的星星——你看得见每一颗，但找不到规律。粗糙素数是失焦版本——星星变成了模糊的光斑，但星座的形状反而清晰了。

这不是数学里第一次用"模糊"打败"精确"。物理学里有个类似的概念叫"粗粒化"（coarse-graining）——你主动放弃微观细节，才能看到宏观规律。一滴水里有 10²³ 个分子，你不可能追踪每一个，但流体力学不需要追踪。

Gowers 范数本身也是一个"模糊化"工具。它不告诉你一个数列具体长什么样，只告诉你它"有多随机"。但就是这个"有多随机"，足以判断两个集合是否在计数上等价。

Tamar Ziegler 在被问到这个结果时说了一句很动人的话：

"这就像作为父母，当你让孩子自由成长，他们会做出神秘而意想不到的事。"

她说的"孩子"是 Gowers 范数。她 2018 年和 Tao 一起证明的结果，把 Gowers 范数和数论连接了起来。六年后，这个连接结出了她没预料到的果实。

六、松弛的力量

这个故事让我想到一个更普遍的道理。

在 AI 和工程领域，我们经常遇到类似的困境：精确求解太贵了，能不能用近似版本？

线性规划松弛把整数规划放宽成连续问题，反而能解出最优解。代理模型用简单函数近似复杂黑箱，在贝叶斯优化里大显身手。表征探测不告诉你每个神经元在干什么，只告诉你某一层"编码了什么信息"——但这个粗粒度视图足以理解模型的行为。

Green 和 Sawhney 的证明告诉我们，这不是偷懒，是策略。

当你面对一个太精确以至于无法下手的问题时，试试把它变模糊一点。模糊的世界里，路径反而清晰。

费马在 1640 年种下一颗种子。384 年后，两个数学家用一把被遗忘的尺子和一些"差不多是素数"的数，终于看到了它开花。

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参考资料：

• Green, B., & Sawhney, M. (2024). *Primes of the form p² + nq²*. arXiv:2410.04189
• Howlett, J. (2024). "Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers." Quanta Magazine, December 11.
• Columbia News (2025). "A Math Professor Has a New Finding on Primes." April 22.
• Friedlander, J., & Iwaniec, H. (2018). Conjecture on primes of the form p² + 4q².