🗿 留一个比特就够了：2013 年的猜想在 2026 年被两拨人同时关上

一条很长的比特串要穿过一条很吵的信道，噪声会把它啃得面目全非。你想在另一端留下尽可能多的、能还原原始串的信息。直觉会告诉你：用一套复杂的规则，把很多比特的信息揉在一起带出去。

2013 年，Thomas Courtade 与 Gowtham Kumar 提出一个反直觉的猜想：别揉，只留一个原始比特，那一个比特携带的信息最多。

这个猜想叫 Courtade-Kumar 猜想，交叉在信息论、布尔函数分析与理论计算机科学的交界处。此后十多年，全球数学家只证明了若干特例。

2026 年 9 月 21 日，两拨人几乎同时把最后一块拼上了，两条路完全不同。

🧩 猜想说的是什么

形式化起来很短：在所有布尔函数里，dictator，也就是只依赖一个坐标的函数，在独立二元噪声下保留关于均匀随机输入的信息最多。

用小贴士说明这三个词。布尔函数就是从若干个比特到 0 或 1 的映射，比如取某一列的异或。dictator 就是"只看第 k 列，其他列一律不管"。独立二元噪声就是每个比特各自以自己的概率随机翻转，互不相关。

猜想的口气像反高潮。一屋子研究员拿十几年去证明"少即是多"，而且答案简单到一句话说完。

难点在于这个"最"字。所有布尔函数的数量是 2 的 n 次方级别，要证明其中最难有任何一种比 dictator 更能保留信息，常规方法只能覆盖有限情形。

🔀 两条完全不同的路

第一组是越南数学家 Vu Khac Ky 与 Tuan Tran。Ky 是 FPT 大学的数学讲师，Tran 是中国科学技术大学的教授，专长是离散概率与组合数学。论文标题《Dictators are most informative》，36 页，9 月 21 日上传 arXiv，编号 2609.24184，归到信息论、组合数学与概率三个类目。

第二组是一支七人团队，含 Google 研究副总裁 Vahab Mirrokni，以及 Chen Zijie、Gohari Amin、Javanmard Adel、Lin Honghao、加州大学印度分校教授 Chandra Nair，卡内基梅隆大学的 David Woodruff。论文超过 250 页，给出一份计算机辅助证明，声称在完全一般性上解决了这个猜想，并把部分分析元素形式化进了 Lean。

Mirrokni 在 X 上把 Courtade-Kumar 描述为信息论与布尔函数分析交界处的一个长期核心开放问题。他公开表示团队得知越南这边独立拿到了不同证明，并向对方致意。

两篇论文同日上传。这不是巧合，也不简单。Ky 在发布前给 Nair 发了邮件告知自己与合作者已有结果，Nair 回复说他与 Google 那边也刚完成，两边交换结果后才协调发布时间。

⏳ 十三年里卡在哪

Ky 第一次听说这个猜想是在十年前，在香港中文大学做博士后的时候，介绍人是 Nair。他当时做了两年，没有结果。2019 年 1 月加入 FPT 大学之后断断续续回来试，每次都被现有的障碍挡住。

2025 年他做信息几何研究时重新捡起这个问题，发现猜想里有些结构与熵、互信息以及信息在噪声下如何变化这类对象关系很近。也是那段时间他开始与 Tran 合作，两人一个专长在熵与数学分析，一个在离散概率与组合数学，互补着试各种想法，一步步把能处理的范围往外扩。

Ky 对 FPT 大学说，AI 帮他们快速试想法、找反例，砍掉不通的路，聚焦到有希望的方向。他也说过最难的地方在于：猜想几行就能写完，常规方法只能在有限情形下证它。有几次以为快做完了，结果发现一个缺口，几乎要从头再来。如果要他说整个过程里最重要的一件事，他会选那个在多次失败之后还能坚持做的能力。

Ky 的背景里有一处细节值得记：他是 Flyspeck 项目的核心成员，那个项目做出过开普勒猜想的计算机验证证明，一个有近四百年历史的数学题的机器验证版本。

🧮 为什么这条猜想值得这么多年的关注

Courtade-Kumar 猜想的地位可以从它吸引来的人看出来。它同时被信息论、布尔函数分析与理论计算机科学三个领域关心，这在数学里不算常见。

这个猜想处在一个交叉点上，而交叉点上的问题往往两侧都不愿意接手。它问的是编码与压缩的理论极限：信息在信道里究竟能保住多少。这个问句的答案一旦确定，会同时影响通信、存储与数据处理三个方向的边界估计。

把这件事接到本周的另一条新闻上：Meta 在 10 月 3 日发布了六篇 Muse Spark 参与的数学论文，五篇处理此前开放的群论与偏微分方程等问题，另外两拨 AI 参与证明的例子也在同一个月出现。Courtade-Kumar 猜想这类问题，过去靠人一个个特例推；现在有人开始问，机器能不能也把这类"结构极简、穷举极大"的问题啃下来。

需要说清楚的是，这条猜想的两组证明里，AI 扮演的角色是辅助试想法与找反例。Ky 明确把持住问题选择权的是自己与 Tran，Tran 的作用是提供了互补的方法论。把这桩成果读成"AI 解决了信息论难题"是不对的。

🔍 两法并存意味着什么

同一天看到两个不同方法，解决同一个问题，这在数学里通常是好消息而非重复劳动。

数学里的一个常见困境是同一个论证的细节被反复质疑。两条完全不同的路同时给出答案，会把这类质疑的成本压下去。

也要说清局限。这两篇都还是 arXiv 预印本，同行评审没有完成。Ky 自己在给 FPT 大学的表述里留了余地：两种方法各有长处，都还需要数学界评估。Mirrokni 用的是"解决了猜想在完全一般性上"这个说法，Ky 说的是"完整证明"，两个口径大体一致，但都不等于已被同行评审确认。

🧭 收在一个问题上

一个十年以上的猜想被关上，方式是一篇 36 页的论文加一篇 250 页的论文同日出现。这个组合本身比任何一个单独的成果更值得记住。

下一步该盯的是这两篇预印本在同行评审里的命运。如果两法都能通过，那信息论与布尔函数分析的教科书里会多出一个双证条目；如果其中一条路在细节上被质疑，另一条路的存在就是保险。

还有一个更难的问题：这个猜想现在属于信息论，十三年前它提出的时候不是。相同的工具在同一个问题里被两个团队同时想到，说明这个问题的数学骨架已经清晰到可以被分头攻击的程度。这类"可并行"的数学问题，接下来会越来越多。

信源与限定

• Vu Khac Ky, Tuan Tran，*Dictators are most informative*，arXiv:2609.24184，2026-09-21 06:56 UTC 提交，36 页，cs.IT / math.CO / math.PR。
• 第二组为 Chen Zijie, Amin Gohari, Adel Javanmard, Honghao Lin, Vahab Mirrokni, Chandra Nair, David P. Woodruff，同日上传，含计算机辅助证明与 Lean 形式化成分。
• 两篇均为 arXiv 预印本，同行评审未完成。
• 两篇的 arXiv 全文未取到，方法细节以作者公开表述与转述为准，未替其补技术内容。
• 引语来自 Ky 对 FPT 大学的说明与 Mirrokni 在 X 上的公开帖。