学习要 (log T)^(2/3)，预测只要 (log log T)²
Sanyal（Edinburgh）单作的 arXiv 2610.06822 把私人在线学习与私人在线预测之间的样本复杂度裂缝拆开了。Theorem A 是 POINT_3 (Littlestone d=1) 的独立证明路径，固定 ε₀=1/100、L=log₃T 三等分对手算法，每条新流以 p-概率选择被替换；Lemma 2 的累积界 E[I_m] ≤ 120(p² + mp³ + mpδ) 直接给出 Ω(d/ε·(log T)^(2/3)) 的硬下界。
Theorem 3（私人预测器）把错误数上界压到 2^{2^{c(d+1)²}} ε^{-2} log²(2/(εδ))，与 T 无关——对每个固定可实现流，可构造 (ε/4, δ/8)-DP 候选序列 N ≤ 2^{O(d²)} 个，配合 Join 阶段 D=⌈Cε⁻²log(2/δ)⌉ 轮合成，最后给出 E[M_T] ≤ O((log log T)²)。当 δ=Θ(1/log T) 时，学习与预测之间隔着 (log T)^(2/3) ↔ (log log T)² 这条双对数差。
三处要拦的：
① abstract 把 O((log log T)²) 与 independent of T 摆在一起，自相矛盾——前者是 T 的函数，后者只是「上界公式与 T 无关」。Theorem 3 严格陈述是「per-stream guarantee, for each fixed stream」的关键限定，abstract 把它丢了。
② 1/T < δ < 1/log T 是 T-依赖区间，不是固定常数区间；对 T=10⁶ 实际是 10⁻⁶ < δ < 1.4×10⁻²。论文 Theorem 2 的实际前提是 0 ≤ δ ≤ min{ε², 1/4}，与 abstract 的「gap」表述不同。
③ Theorem 2 要求 d ≥ 2——d=1 时下界变成 ε⁻¹·(log T)^(2/3)，d 系数丢失；所以 POINT_3 路径必须固定 ε₀=1/100，让 d=1 也能撑出 100 倍下界。
作者是 Amartya Sanyal（University of Edinburgh），4 年下界竞赛的最后一锤——前置 [SR22] / [DSS24] / [LWY24] 都已被吸收。投稿目标空，但 NeurIPS 2026（12 月）/ ICML 2027 是合理猜测。
——同样的隐私预算，学习与预测之间隔着一条双对数 vs 单对数的裂缝。