平方那一下：从振幅到概率

先备导航：你需要 013（振幅）和 015（两比特账本）。

下一篇预告：017《换一副坐标轴》。

平方那一下：从振幅到概率

前一篇的账本上写着 (1/√2, 0, 0, 1/√2)，我说"|00⟩ 的概率是 (1/√2)² = 1/2"——你大概率没有停下来追问。这一篇就要停下来，因为"平方那一下"是量子力学最古怪也最深刻的一条规矩，它的大名是玻恩规则（又是人名，术语而已）。本篇回答三个问题：平方从哪来？交叉项去哪了？为什么偏偏是平方？

先把账目摆开

单比特叠加态，最一般的样子是两支振幅：a·|0⟩ + b·|1⟩——a、b 都是复数箭头（011 篇），各有长度、各有方向。

测量它，得到 0 的概率是多少？玻恩规则一句话：P(0) = |a|²——a 这支箭头的长度，取平方。

三个直白推论，先立在此处：

• 概率只看长度，不看方向——测量单比特自身时，相位隐身（这就是 019 篇"全局相位不重要"的种子）。
• a 的长度介于 0 和 1 之间，平方后恰好是概率；总概率 |a|²+|b|²=1 是球（012 篇）那句话的账面版。
• 1/√2 的振幅 → 1/2 的概率："对半开"在振幅世界里叫 1/√2——H 门表格里那两个奇怪数字的来历（014 篇）。

交叉项去哪了

两个独立比特，第一个处于 a|0⟩+b|1⟩，第二个处于 c|0⟩+d|1⟩。按 015 篇的搭配展开，联合账本四格：ac、ad、bc、bd。测量得"00"的概率是多少？

两条路走到这里：第一，公式直接给——|ac|²=|a|²·|c|²（复数长度的乘法性质）。这就是小学概率题的答案：各自独立的事件，概率相乘——经典规则作为特例完好地活在量子规则里。

第二，用"先加总再平方"的笨办法——这一遍必须认真走，因为纠缠态只有这条路可走：合振幅是 ac，概率是 |ac|²。分毫不差。

咦，那说好的"顺序一换、世界就换"呢？独立情形怎么换都一样——因为每个结果只有一条路抵达（|00⟩ 只能由 a 配 c 这一搭配产生），没有箭头可加，平方怎么拆都不变形。

关键在纠缠态：账本 (1/√2, 0, 0, 1/√2) 不能拆成搭配展开——但我们可以人为换一种问法，让同一个结果有多条路抵达。这是 017 篇的剧情，这里只剧透一句：一旦一个结果有多条路径贡献振幅，"先加后平方"与"先平方再加"就分道扬镳——差的那一块，叫交叉项，它就是干涉的账面身份：两支箭头方向的夹角余弦，乘以两个长度的乘积。

同向，交叉项为正，概率超出"各算各"之和（相长干涉）；反向，交叉项为负，概率低于之和，最低可至零（相消干涉，013 篇的"永不发生"）。经典概率规则缺少的正是这一项——交叉项，就是量子与经典的全部差别，也是量子算法全部算力的账面位置。

为什么偏偏是平方

一个诚实的告白："为什么是平方"没有更深的推导——它是一条公理，由实验背书。 物理学里有几条规则站在所有推导链的最顶端，玻恩规则是其中之一。人类试过用更深的原理推出它（有的尝试很美，046 篇后我们会再遇见它的影子），但截至今天，最硬的证据仍是：按平方算，实验全对；按任何别的规则算，实验不全对。

不过，"平方"并非凭空任性，它至少满足三条人人都认的约束，而这三条约束几乎把它锁死了：

1. 概率必须非负——箭头有正有负（振幅可反相），要变成非负的数，最简单的操作是平方（或取长度）。 2. 总概率守恒为 1——012 篇"长度焊死"的账面表述；这条排除了"立方"等一切让总和不守恒的方案。 3. 两支同向箭头合起来，概率必须翻两番而不是翻一番——长度平方后相加：两支同向、各长 1/2 的箭头，合成长度 1，概率 1；若不加箭头直接把各自的"强度"相加，只会得到 1/2。实验里干涉恰恰给出翻两番（相长条纹的亮度），这是"先加后平方"的直接铁证。

三条常识约束放在一起，平方几乎是唯一幸存的候补——这大概是"公理"能有的最好待遇：不是证明它对，而是很难找到别的选项。

把类比拆掉

"箭头长度"的几何类比借了哪里：

• 不像之一：几何长度不挑对象——任何线段都有长度；振幅长度只对合起来的账目有意义，单条"路径的长度"无法被独立测出（002 篇：测量即坍缩）。长度是账本属性，不是物性。
• 不像之二：平方在几何里是面积；这里的平方只是"去方向留大小"的记账动作，与任何"面积"意象无关。硬要画成面积图，反而会诱导你去找"哪块地"，徒增混乱。

带走的行李

1. 玻恩规则：概率 = 合振幅长度的平方；独立情形自动退化为经典乘法规则——经典概率是量子记账的特例，不是对手。 2. 多路径抵达同一结果时，账本里出现交叉项（方向夹角的贡献）：正则相长、负则相消、零则该结果永不发生——交叉项=干涉的账面身份，量子算力的藏身处。 3. 平方是公理，不是推论；但非负、守恒、干涉翻两番三条实验约束几乎锁死了它——信它，因为换别的全错。

下一站的钩子：到目前为止，测量永远"竖直坠落"（012 篇埋的雷）——但谁规定的上下？把坐标系换一副，同一颗球会给出完全不同的问答方式，而量子算法的巧劲有一半藏在换轴里。017《换一副坐标轴》。

#量子计算 #从硬币到纠错 #玻恩规则 #交叉项